Решим уравнение
(x2−5x)2−30(x2−5x)−216=0(1)
Если преобразовать левую сторону этого уравнения в многочлен:
(x2−5x)2−30(x2−5x)−216=x4−10x3+25x2−30x2+150x−216==x4−10x3−5x2+150x−216,
то получим уравнение
x4−10x3−5x2+150x−216=0,
которое достаточно трудно решить.
Решим уравнение (1) путем введения новой переменной.
Обозначим x2−5x через y:
x2−5x=y.
Тогда уравнение (1) преобразуется в квадратное уравнение с неизвестной y:
y2−30y−216=0.(2)
Решим уравнение (2) методом дискриминанта.
Общий вид квадратного уравнения:
ay2+by+c=0.
Для уравнения (2): a=1,b=−30,c=−216.
Находим дискриминант:
D=b2−4ac=(−30)2−4⋅1⋅(−216)=900+864=1764>0.
Так как D>0, поэтому квадратное уравнение имеем два действительных корня, которые вычисляются по следующей формуле:
y1,2=−b±√D2a=−(−30)±√17642⋅1=30±422=15±21.
То есть,
y1=15−21=−6.
y2=15+21=36.
Отсюда
x2−5x=−6
и
x2−5x=36.
Решим уравнение x2−5x+6=0 методом дискриминанта.
Здесь: a=1,b=−5,c=6.
Находим дискриминант:
D=b2−4ac=(−5)2−4⋅1⋅6=25−24=1>0.
Так как D>0, поэтому квадратное уравнение имеем два действительных корня, которые вычисляются по следующей формуле:
x1,2=−b±√D2a=−(−5)±√12⋅1=5±12.
То есть,
x1=5−12=2.
x2=5+12=3.
Решим уравнение x2−5x−36=0 методом дискриминанта.
Для этого уравнения: a=1,b=−5,c=−36.
Находим дискриминант:
D=b2−4ac=(−5)2−4⋅1⋅(−36)=25+144=169>0.
Так как D>0, поэтому квадратное уравнение имеем два действительных корня, которые вычисляются по следующей формуле:
x3,4=−b±√D2a=−(−5)±√132⋅1=5±132.
То есть,
x3=5−132=−4.
x4=5+132=9.
Следовательно, уравнения (1) имеет 4 корня:
x1=2,x2=3,x3=−4,x4=9.
Проверка.
1.(22−5⋅2)2−30⋅(22−5⋅2)−216=(4−10)2−30⋅(4−10)−216==36+180−216=0.
2.(32−5⋅3)2−30⋅(32−5⋅3)−216=(9−15)2−30⋅(9−15)−216==36+180−216=0.
3.((−4)2−5⋅(−4))2−30⋅((−4)2−5⋅(−4))−216==(16+20)2−30⋅(16+20)−216=1296−1080−216=0.
4.(92−5⋅9)2−30⋅(92−5⋅9)−216==(81−45)2−30⋅(81−45)−216=1296−1080−216=0.
