Решим уравнение
\[(x^2 - 5x)^2 - 30(x^2 - 5x) - 216 = 0 \qquad (1)\]
Если преобразовать левую сторону этого уравнения в многочлен:
\(\begin{multline}
(x^2 - 5x)^2 - 30(x^2 - 5x) - 216 = x^4 -10x^3 + 25x^2 - 30x^2 + 150x - 216 = \\
= x^4 - 10x^3 -5x^2 + 150x - 216,
\end{multline}\)
то получим уравнение
\[x^4 - 10x^3 -5x^2 + 150x - 216 = 0,\]
которое достаточно трудно решить.
Решим уравнение (1) путем введения новой переменной.
Обозначим \(x^2 - 5x\) через \(y\):
\[x^2 - 5x = y.\]
Тогда уравнение (1) преобразуется в квадратное уравнение с неизвестной \(y\):
\[y^2 - 30y - 216 = 0. \qquad (2)\]
Решим уравнение (2) методом дискриминанта.
Общий вид квадратного уравнения:
\[ay^2+by+c=0.\]
Для уравнения (2): \(a=1, b=-30, c=-216\).
Находим дискриминант:
\[D=b^2-4ac=(-30)^2-4 \cdot 1 \cdot (-216) = 900 + 864 = 1764 > 0.\]
Так как D>0, поэтому квадратное уравнение имеем два действительных корня, которые вычисляются по следующей формуле:
\[y_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-30) \pm \sqrt{1764}}{2\cdot 1} = \frac{30 \pm 42}{2} = 15 \pm 21.\]
То есть,
\(y_1=15-21=-6\).
\(y_2=15+21=36\).
Отсюда
\(x^2 - 5x = -6\)
и
\(x^2 - 5x = 36\).
Решим уравнение \(x^2 - 5x + 6 = 0\) методом дискриминанта.
Здесь: \(a=1, b=-5, c=6\).
Находим дискриминант:
\[D=b^2-4ac=(-5)^2-4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0.\]
Так как D>0, поэтому квадратное уравнение имеем два действительных корня, которые вычисляются по следующей формуле:
\[x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2\cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2}.\]
То есть,
\[x_{1} = \frac{5 - 1}{2} = 2.\]
\[x_{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3.\]
Решим уравнение \(x^2 - 5x - 36 = 0\) методом дискриминанта.
Для этого уравнения: \(a=1, b=-5, c=-36\).
Находим дискриминант:
\[D = b^2-4ac = (-5)^2-4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 > 0.\]
Так как D>0, поэтому квадратное уравнение имеем два действительных корня, которые вычисляются по следующей формуле:
\[x_{3,4}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{13}}{2\cdot 1} = \frac{5 \pm 13}{2}.\]
То есть,
\[x_{3} = \frac{5 - 13}{2} = -4.\]
\[x_{4} = \frac{5 + 13}{2} = 9.\]
Следовательно, уравнения (1) имеет 4 корня:
\[x_1 = 2, \quad x_2 = 3, \quad x_3 = -4, \quad x_4 = 9.\]
Проверка.
\(\begin{multline}
1. \quad (2^2 - 5\cdot 2)^2 - 30\cdot (2^2 - 5\cdot 2) - 216 = (4-10)^2 - 30\cdot (4-10) - 216 = \\
= 36 + 180 - 216 = 0.
\end{multline}\)
\(\begin{multline}
2. \quad (3^2 - 5\cdot 3)^2 - 30\cdot (3^2 - 5\cdot 3) - 216 = (9-15)^2 - 30\cdot (9-15) - 216 = \\
= 36 + 180 - 216 = 0.
\end{multline}\)
\(\begin{multline}
3. \quad ((-4)^2 - 5\cdot (-4))^2 - 30\cdot((-4)^2 - 5\cdot (-4)) - 216 = \\
= (16+20)^2 - 30\cdot (16+20) - 216 = 1296 - 1080 - 216 = 0.
\end{multline}\)
\(\begin{multline}
4. \quad (9^2 - 5\cdot 9)^2 - 30\cdot (9^2 - 5\cdot 9) - 216 = \\
= (81-45)^2 - 30\cdot (81-45) - 216 = 1296 - 1080 - 216 = 0.
\end{multline}\)
